Главная » 2016 » Апрель » 11 » Непрерывные дроби
20:59 Непрерывные дроби | |
| Простейшей цепной или непрерывной дробью называется выражение a0+1a1+1a2+⋯.(1) В наиболее общем случае непрерывные дроби a0,a1,a2,… являются произвольными переменными. Далее в данной статье мы будем считать, что a0 – целое число, а a1,a2,… – натуральные. Для большего удобства записи непрерывную дробь (1) иногда обозначают так: [a0;a1; a2;…]. Если цепная дробь обрывается на некотором элементе an, то ее называют конечной или n-членной. В противном случае она называется бесконечной. Например, число 2√ допускает разложение в следующую цепную дробь: 2√=1+12+12+12+⋯. Действительно, пусть 2√=a0+1α1, и если потребовать того, чтобы a0 было натуральным, получим, что a0=1 и α1=12√−1. Теперь разложим α1 в непрерывную дробь: пусть α1=12√−1=a1+1α1, тогда a1=2 и α2=1α1−2=112√−1−2=2√−13−22√=2√−1(2√−1)2=12√−1=α1. Легко понять, что тогда все последующие элементы an будут также равны 2. То есть данное разложение будет бесконечным и периодическим. | |
|
| |